عنوان                                                                                                                                صفحه
فصل اول-  مقدمه   …………………………………………………………………………………….. 1
1-1- مقدمه…………………………………………………………………………………………………… 2
1-2- معرفی موضوع………………………………………………………………………………………… 3
1-3- اهداف………………………………………………………………………………………………….. 4
1-4-  غشاها و فرایندهای غشایی………………………………………………………………………… 5
فصل دوم –  تئوری تحقیق و بر تحقیقات گذشته………………………………….. 7
2-1-  اسمز، فشار اسمزی، اسمز معكوس و دیدگاه ها……………………………………………….. 8
2-2- اصول انتقال جرم غشایی……………………………………………………………………………. 9
2-2-1- عملكرد غشا……………………………………………………………………………………….. 9
2-2-2- پلاریزاسیون غلظتی………………………………………………………………………………. 10
2-2-3- نیروهای محركه برای اسمز معكوس………………………………………………………….. 12
2-3- مكانیزمهای انتقال…………………………………………………………………………………….. 13
2-3-1- مكانیزم فیلتراسیون غربالی………………………………………………………………………. 13
2-3-2- مكانیزم سطح خیس……………………………………………………………………………… 13
2-3-3- مكانیزم انحلال- نفوذ……………………………………………………………………………. 14
2-3-4- مكانیزم جذب ترجیحی- جریان حفره‌ای……………………………………………………. 14
2-4- مدلهای انتقال………………………………………………………………………………………….. 15
2-4-1- مدلهای مستقل از مكانیزم یا مدلهای پدیده شناسانه انتقال…………………………………. 16
2-4-1-1- ترمودینامیک غیر برگشتی- روابط پدیده شناسانه انتقال……………………………….. 16
2-4-1-1- الف-  مدل کدم – کاتچالسکی……………………………………………………………. 17
2-4-1-1- ب-  مدل کدم- اسپیگلر…………………………………………………………………….. 18
2-4-2- مدلهای وابسته به مكانیزم………………………………………………………………………… 19
2-4-2-1- مدلهای انتقال غیر متخلخل………………………………………………………………….. 19
2-4-2-1- الف-  مدل انحلال- نفوذ……………………………………………………………………. 19
2-4-2-1- ب-  مدل انحلال- نفوذ- حفره…………………………………………………………….. 20
عنوان                                                                                                                                  صفحه
2-4-2-1- ج-  مدل توسعه یافته انحلال- نفوذ………………………………………………………… 21
2-4-2-2- مدلهای انتقال بر اساس تخلخل…………………………………………………………….. 22
2-4-2-2- الف-  مدل کیمورا- سوریراجان…………………………………………………………… 22
2-4-2-2- ب-  مدل حفره های ریز…………………………………………………………………….. 24
2-4-2-2-ج-  مدل اصلاح شده- حفره های ریز…………………………………………………….. 25
2-4-2-2- د-  مدل نیروی سطحی- جریان حفره‌ای…………………………………………………. 27
2-5- مدل اصلاح شده نیروی سطحی- جریان حفره ای…………………………………………….. 30
2-5-1- تعیین توزیع غلظت……………………………………………………………………………….. 31
2-5-2- تعیین توزیع سرعت………………………………………………………………………………. 32
2-5-3- جداسازی و شارهای عبوری حلال و ماده حل شده از درون غشا……………………….. 33
2-5-4- تابع پتانسیل………………………………………………………………………………………… 34
2-5-5- تابع اصطکاک…………………………………………………………………………………….. 35
2-6- مدل تعمیم یافته اصلاح شده نیروی سطحی- جریان حفره ای ……………………………… 35
2-6-1- مولفه شعاعی شار ماده حل شده……………………………………………………………….. 35
2-6-2- مولفه محوری شار ماده حل شده………………………………………………………………. 37
2-6-3- تعیین توزیع سرعت………………………………………………………………………………. 39
2-6-4- جداسازی و شار ماده حل شده و حلال عبوری از غشا…………………………………….. 39
2-6-5- تابع پتانسیل………………………………………………………………………………………… 40
2-6-6- تابع اصطكاك…………………………………………………………………………………….. 40
فصل سوم-  روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل و غیرخطی…………………… 41
3-1- تئوری گسسته سازی…………………………………………………………………………………. 42
3-2- روش اختلاف محدود……………………………………………………………………………….. 43
3-3- روش المان محدود…………………………………………………………………………………… 44
3-4- روش حجم محدود………………………………………………………………………………….. 45
3-4-1- طرح اختلاف مركزی……………………………………………………………………………. 47
3-4-2- طرح اختلاف بالا دست…………………………………………………………………………. 48
عنوان                                                                                                                                  صفحه
3-4-3- طرح اختلاف پیوندی……………………………………………………………………………. 49
فصل چهارم-  مدلسازی ریاضی و بهینه سازی…………………………………………………. 50
4-1- مقدمه…………………………………………………………………………………………………… 51
4-2- روش كلی حل معادلات مدل MD-SF-PF و Ex-MD-SF-PF…………………………….. 51
4-3- گسسته سازی معادلات………………………………………………………………………………. 52
4-3-1- گسسته سازی معادله سرعت…………………………………………………………………….. 52
4-3-2- گسسته سازی معادله غلظت……………………………………………………………………… 54
4-4- حل معادلات جبری………………………………………………………………………………….. 59
4-5- بهینه سازی…………………………………………………………………………………………….. 59
فصل پنجم-  نتایج ……………………………………………………………………………………….. 64
   5-1- نتایج حاصل از حل عددی و بهینه سازی مدل MD-SF-PF…………………………………. 65
5-2- نتایج حاصل از بهینه سازی مدل  Ex-MD-SF-PFوسایر مدل های پیشنهادی……………. 68
5-3- بررسی نتایج مدلEx-MD-SF-PF وNew-Ex-MD-SF-PF………………………………… 74
5-3-1- مقایسه نتایج حاصل از حل عددی مدلEx-MD-SF-PF ومدل New-Ex-MD-SF-PF با داده های آزمایشگاهی    74
5-3-2- بررسی توزیع غلظت مدلEx-MD-SF-PF  ومدلNew-Ex-MD-SF-PF…………….. 81
5-3-3- مقا یسه توزیع سرعت مدلEx-MD-SF-PF  ومدل New-Ex-MD-SF-PF…………… 83
5-3-4- بررسی ومقایسه روندتغییرات تابع پتانسیل مدلEx-MD-SF-PF ومدل
New-Ex-MD-SF-PF …………………………………………………………………………………….. 84
5-4- بررسی اثر تابع پتانسیل بر مدلEx-MD-SF-PF……………………………………………….. 88
5-4-1- بررسی توزیع سرعت مدل پیشنهادی با توابع (Ex-P4-F1)……………………. 93
5-4-2- بررسی روند تغییرات تابع پتانسیل مدل پیشنهادی با توابع (Ex-P4-F1)……. 94
فصل ششم-  نتیجه گیری و پیشنهادات…………………………………………………………….. 96
6-1- نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………. 97
6-2- پیشنهادات……………………………………………………………………………………………… 98

مراجع…………………………………………………………………………………………………………… 100
– مقدمه
در اواخر دهه 1950 میلادی، رید وبریتون [1] در دانشگاه فلورید كشف كردند كه غشا ساخته شده از استات  سلولز قدرت دفع نمك را دارا می باشد. جریان آب عبوری از این غشای متراكم [2] به قدری كم بود كه امكان استفاده عملی از آن را غیر ممكن می نمود]1 و2[.
نقطه عطف پدیده‌های غشایی را می توان مربوط به حدود سال 1958 دانست، هنگامیكه اولین غشای نامتقارن استات سلولز، در دانشگاه لس آنجلس كالیفرنیا (UCLA) ساخته شد.
لئوب و سوریراجان[3] با ساختن یک لایه نازك به ضخامت)  (0.1-1.0µmبر روی یک ساختار متخلخل در پشت آن، توانستند غشای نامتقارنی از استات سلولز تولید كنند]1[.
غشاهای استات سلولز دو محدودیت بزرگ دارند. اولاً مستعد حمله مواد بیولوژیكی هستند كه در این صورت باید آب ورودی را كلریناسیون كرد. ثانیاًتحت شرایط مختلف اسیدی و بازی، استات سلولز به استات هیدرولیز می شود، بنابراین PH سیستم باید بین 5.4 تا 5.7 كنترل شود [3].
یكی از راه های توسعه غشاهای نامتقارن این بود كه لایه پوسته و لایه محافظ متخلخل را به صورت جداگانه تولید كرده و سپس به نحوی بر روی یكدیگر قرار دهند. در نوع جدیدی از غشاها، بنام كامپوزیت فیلم نازك[4]  (TFC)این عمل را طی دو مرحله به انجام می رسانند. ابتدا لایه ضخیم با یک لایه متشكل از حفره‌های بسیار ریز[5] پوشش داده می شود و بعد لایه‌ای نازك روی آن پوشانیده می‌شود. یكی از محاسن این روش این است كه می توان عملكرد (جداسازی و شارعبوری) هر كدام از لایه‌هارا جداگانه بهینه كرد. امروزه این نوع غشاها (TFC) از لحاظ اقتصادی بسیار مقرون به صرفه بوده و عملكرد بالایی دارند [4].
در سال 1977 غشاهای پلی‌آمیدی ساخته شدند. هدف از ساخت این نوع غشاها كه به روش
TFC ساخته می شوند، این بود كه مقاومت شیمیایی، ‌بیولوژیكی و مكانیكی سطح، توسعه یافته و عمر مفید غشا افزایش یابد. یكی از محدودیت های این نوع غشا نسبت به غشاهای استات سلولز را می توان مشكل بودن طرز تهیه آن ها دانست كه متحمل هزینه زیادتری است]3 و 5[.
 
1-2-  معرفی موضوع
دیدگاه های مختلفی در تحقیقات غشایی وجود دارند. علم مدلسازی می كوشد تا عملكرد غشاها را توصیف و در مرحله بالاتر پیشگویی نماید، و از این طریق، هم دانش مربوط به مكانیزم انتقال را گسترش دهد و هم اینكه از این دانش در طراحی غشاها و دستگاه های اسمز معكوس استفاده كند. علم مواد با بهره گرفتن از معیارهای فیزیكی و شیمیایی می كوشد تا با تهیه و سنتز غشاهای جدیدتر به فناوری فرایندهای غشایی سرعت بخشد. طراحی فرایند، در زمینه طراحی كلی و بهینه سازی سیستمهای اسمز معكوس در مقیاس صنعتی تحقیق می كند .
در این میان مدلسازی و پیشگویی عملكرد غشاهای اسمز معكوس[6] اهمیت خاصی دارد. به منظور اینكه عملكرد غشاهای اسمز معكوس را به شایستگی توصیف نماییم، مدل های ریاضی بسیار دقیق و مناسبی مورد نیازاست. این نیاز منجربه توسعه چند مدل انتقال شده است.
هدف عمومی مدل های انتقال این است كه عملكرد غشارا كه معمولاً بر حسب جداسازی (كسری از ماده حل شده كه از خوراك جدا می شود) و شار عبور بیان می‌شود، به شرایط عملكرد (مانند فشار و غلظت خوراك) یا نیروی محركه (كه معمولاً گرادیان غلظت و فشار می باشند)، توسط ضرایبی (كه به عنوان ضرایب انتقال شناخته می شوند و شامل پارامترهای مدل می باشند) ربط دهد. ضرایب یا پارامترها باید از داده های آزمایشگاهی تعیین شوند. موفقیت كامل یک مدل یعنی قدرت آن مدل در توصیف ریاضی داده ها با ضرایبی (یا پارامترهایی) كه در محدوده شرایط عملی ثابت باقی می مانند (پارامترهای مستقل از نیروهای محركه). در نهایت مدل با ضرایب انتقال (یا پارامترهای) مشخص می تواند عملكرد یک غشا را در طیف وسیعی از شرایط عمل پیشگویی كند. این قدرت پیشگویی عملكرد، قدرت واقعی مدل انتقال است. مدل انتقال می تواند بعضاً هزینه های زیاد آزمایشی را حذف كند و یا با برنامه تحقیقاتی در ساخت غشا جفت شده تا منجر به معیارهای طراحی بهتری شود و یا به همراه یک برنامه طراحی فرایند بکار گرفته شده و منجر به مقیاس صنعتی منطقی برای سیستم اسمز معكوس گردد [1].
 تا كنون مدل های زیادی برای بیان عملكرد و همچنین پیشگویی عملكرد غشاهای اسمز معكوس ارائه شده است و بعضی از آن ها موفقیت های نسبتاً خوبی داشته‌اند. این مدل ها به مرور زمان با روشن شدن واقعیتهای تازه درباره مكانیزم جداسازی و روابط حاكم بر مدل تكمیل تر شده و نتایج بهتری را ارائه نموده‌اند [8].
 ازجمله مدل هایی كه نتایج خوبی جهت توصیف فرایندهای اسمز معكوس با دقت بسیار بالا ارائه كرده است، مدلی است تحت عنوان مدل اصلاح شده نیروی سطحی- جریان حفره‌ای[7] یا مدل MD-SF-PF ونیزمدل كامل‌تر آن یعنی مدل[8]Ex-MD-SF-PF،كه هردومدل توسط مهدیزاده و همكارانش ارائه شده اند] 10-9[.
حسن این دو مدل این است كه توانسته‌اند بر اساس یک مكانیزم فیزیكی، علاوه بر تعیین روابط حاكم بر فرایندهای اسمز معكوس، عملكرد غشاها را در شرایط مختلف عملیاتی با دقت بالایی پیشگویی نمایند.
عمده‌ترین مشكل در استفاده از این مدل ها حل معادلات دیفرانسیل غیر خطی آنهامی باشد. برای حل معادلات این دو مدل از روش عددی بر هم گذاری متعامد[9] استفاده شده است [11].
در این تحقیق ابتدا چندین تابع اصطكاك و پتانسیل از میان توابع مختلف ارزیابی شده، انتخاب گشته و پس از جایگزینی در مدلEx-MD-SF-PF به كمك برنامه نویسی در نرم افزار Matlab و بهینه سازی، میزان توانایی و قدرت مدل های جدید در پیشگویی عملكرد غشاهای اسمز معكوس مورد بررسی قرار گرفته است كه بعداً در قسمت نتایج مشاهده گردید كه نه تنها مدل های جدید قادر به پیش‌بینی عملكرد غشاهای اسمز معكوس هستند بلكه بعضاً برخی از مدل های ارائه شده، نتایج بهتری نسبت به مدل MD-SF-PF و Ex-MD-SF-PF دارند.
از طرفی معادلات غیر خطی حاكم بر مدل با بهره گرفتن از روش های عددی اختلاف محدود[10] و حجم محدود[11] حل شده و آن گاه نتایج بدست آمده برای عملكرد غشا با نتایج آزمایشگاهی مقایسه شده‌اند.
1-3-  اهداف
همان طور كه گفته شد، در این تحقیق به دنبال یافتن توابع پتانسیل و اصطكاك جدید برای جایگزینی در مدل Ex-MD-SF-PF و ارائه مدل جدیدتر هستیم. بدین منظور با بهره گرفتن از
بهینه سازی، توابع اصطكاك و پتانسیل را كه قادر به پیش‌بینی نتایج آزمایشگاهی باشند، از میان توابع مختلف و متنوع انتخاب نموده و پارامترهای مورد نیاز مدل را تعیین می كنیم.
از طرفی چون معادلات حاكم بر مدل MD-SF-PF وEx-MD-SF-PF پیچیده و غیر خطی هستند و حل آنها توسط روش عددی بر هم گذاری متعامد صورت گرفته است، مستلزم انجام محاسبات پیچیده ریاضی و صرف زمانی طولانی می باشد. با بهره گرفتن از روش های عددی مانند اختلاف محدود و حجم محدود معادلات انتگرالی و دیفرانسیلی حاكم بر مدل به معادلات ساده جبری تبدیل می شوند تا از انجام محاسبات تكراری جلوگیری كرده و همگرایی داده ها با سرعت بیشتری صورت گیرد.
1-4-  غشاها و فرایندهای غشایی
اصولاً غشا مانعی است بین دو محلول كه دارای غلظت های متفاوتی می باشند. این مانع علاوه بر اینكه از مخلوط شدن محلول ها جلوگیری می كند، برای رسیدن به حالت تعادل (یكسان شدن پتاسیل شیمیایی دو طرف) بر اساس نیروی محركه و مكانیزمی خاص، به بعضی از مواد (معمولاً حلال) اجازه عبور داده و از عبور بعضی از مواد (معمولاً ماده حل شده) ممانعت به عمل می آورد. غشاها بر دو نوعند: غشاهای طبیعی كه در بدن موجودات زنده محتویات سلول را احاطه می كنند و غشاهای مصنوعی پلیمری كه انواع مختلفی دارند و بسته به نوع آن، نیروی محركه و شرایط آزمایشی، مصارف صنعتی گوناگونی دارند و بر اساس آن فرایندهای غشایی متنوعی پدید می آیند كه در همگی آنها غشا نقش اساسی را ایفا می كند. به عنوان مثال: اسمز معكوس، نانوفیلتراسیون،[12] اولترافیلتراسیون،[13] میكروفیلتراسیون،[14]  الكترودیالیز،[15]  تبخیر تراوشی[16]  و غیره [12].
تفاوت این فرایند ها در مكانیزم عبور از غشا و نیروی محركه اصلی فرایند است كه باعث كاربردهای متنوع آن ها نیز شده است. به عنوان مثال، در اسمز معكوس كه برای جداسازی مواد