وکلی ترین روش برای مطالعه پایداری سیستم های دینامیکی، قضیه مطرح شده توسط ریاضیدان

روسی الکساندر لیاپانوف[1] است.

نتایج اصلی قضیه پایداری لیاپانوف برای سیستم های دینامیکی تعریف شده روی ،

مربوط به سیستم های تشکیل شده ازحرکت های پیوسته و ناپیوسته است. بسیاری از این نتایج شرایط

کافی برای پایداری سیستم های دینامیکی بیان می کنند.

 فهرست مطالب:

عنوان                                                                                                             صفحه

مقدمه                                                                                                               3

 فصل اول: آشنایی باسیستم های دینامیکی و پایداری                                                           5 

سیستم های دینامیکی                                                                                                            6   

 مجموعه های حدی و جاذب ها                                                                                           10

فصل دوم: اندیشه های پایه                                                                                                13

مقدمات و مفاهیم اساسی                                                                                                      14

فصل سوم: پایداری سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک                                            21

شرایط کافی برای پایداری سیستم های دینامیکی                                                                  22

تحلیل پایداری سیستم های هیبریدی                                                                                    36

تحلیل پایداری سیستم های دومؤلفه ای                                                                                39

پایداری جزئی سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک                                                     44

 منابع                                                                                                                                  53

 مقدمه:

در این پایان نامه با بهره گرفتن از نگاشت های حافظ ماتریس مقدار، یک روش جدید برای تحلیل پایداری حرکت های سیستم های دینامیکی تعریف شده روی فضاهای متریک به دست می آوریم [30].

این نتایج برای خانواده بسیار بزرگی از سیستم ها، شامل سیستم های دینامیکی که نمی توانند توسط معادلات کلاسیک معمولی و یا نامعادلات مشخص شوند، به کار برده می شود.

در روش ارائه شده از یک قاعده کلی همسنجی تعمیم یافته همراه با ایده نگاشت های چند مؤلفه ای (نگاشت های لیاپانوف ماتریس مقدار)، استفاده شده است[22,23]. ما ابتدا نگاشت های حافظ ماتریس مقدار، برای تحلیل پایداری سیستم های دینامیکی معمولی تعریف شده روی فضاهای متریک، معرفی می کنیم. 

برای راحت تر شدن کار، از نگاشت های ماتریس مقدار حافظ پایداری استفاده می کنیم[24]. سپس از نتایج به دست آمده برای اثبات قضایای کلی لیاپانوف روی سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک و تحلیل خانواده سیستم های هیبریدی و سیستم های هیبریدی دو مؤلفه ای استفاده می کنیم.

پایداری مجموعه های پایا(در حالت خاص نقاط تعادل)، برای یک قرن موضوع تحقیق است و هسته این کار، روش مستقیم لیاپانوف است که قاعده همسنجی برای تحلیل پایداری، از این روش نتیجه شده است .[9,13,17]

در ابتدا در روش مستقیم لیاپانوف تابع های اسکالر-مقدار کمکی استفاده شده بود که برای اثبات قاعده همسنجی این روش تعمیم یافت[14,17].

در تعمیم قاعده همسنجی، برای تحلیل پایداری سیستم های دینامیکی، نیز از نگاشت های حافظ پایداری، استفاده شده است[10]. این نگاشت ها نقش مهمی در تحلیل پایداری سیستم های دینامیکی بازی می کنند.

در این پایان نامه

در فصل اول، به معرفی سیستم های دینامیکی در حالت کلی می پردازیم.

در فصل دوم، ابتدا یک نگاشت همسنجی معرفی می کنیم وسپس به معرفی سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک می پردازیم و برخی مفاهیم پایه ای و اساسی سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک، بیان می کنیم.

در فصل سوم، به تحلیل پایداری و سپس پایداری جزئی، سیستم های دینامیکی در فضاهای متریک می پردازیم.

 

   1- سیستم های دینامیکی

مفهوم سیستم دینامیکی فرمول بندی ریاضی مفاهیم علمی عمومی به روشی مشخص است.

هدف علوم مختلف فیزیک، شیمی، زیست شناسی، بوم شناسی، اقتصاد و حتی علوم اجتماعی، پیشگویی توسط علوم  موجود و قوانین حاکم بر تکامل این علوم است. به شرطی که این قوانین با گذشت زمان ثابت باشند رفتار چنین سیستم هایی می تواند توسط حالت اولیه سیستم به طور کامل توصیف شود.

بنابراین یک سیستم دینامیکی شامل مجموعه ای از حالت های ممکن (فضای حالت) و قانون ریشه- یابی حالت در زمان است. ما ابتدا در مورد این اجزا بحث می کنیم و سپس تعریفی رسمی از سیستم دینامیکی ارائه می دهیم.

فضای حالت:

همه حالت های ممکن یک سیستم به صورت نقاطی از مجموعه ای مانند  در نظر می گیریم، این مجموعه فضای حالت سیستم نامیده می شود.

در حقیقت تعیین یک نقطه  به تنهایی برای توصیف موقعیت فعلی سیستم کافی نیست و قانون ریشه یابی نیز باید مشخص شود.

گاهی اوقات فضای حالت فضای فاز هم نامیده می شود.

زمان: ریشه یابی یک سیستم دینامیکی به معنی یافتن تغییرات در حالت سیستم با گذشت زمان  است که  یک مجموعه مرتب است.

دو نوع سیستم دینامیکی در نظر گرفته می شود:

 1- سیستم های با زمان پیوسته  

2- سیستم های بازمان گسسته .

سیستم های نوع اول سیستم دینامیکی زمان پیوسته و سیستم های نوع دوم سیستم های دینامیکی زمان گسسته نامیده می شوند.

 

 

سیستم های دینامیکی زمان گسسته به طور طبیعی در بوم شناسی و اقتصاد ظاهر می شوند.

عملگر ریشه یابی:

مؤلفه اصلی یک سیستم دینامیکی قانون ریشه یابی است که حالت سیستم در زمان  یعنی  را مشخص می کند وقتی که حالت اولیه سیستم یعنی  معلوم است. متداولترین روش برای مشخص کردن عملگر ریشه یابی این است که در نظر بگیریم که برای هر  یک نگاشت تک مقداری مانند  در فضای حالت تعریف شده باشد یعنی  تعریف شده باشد که حالت اولیه  را به حالت  در زمان انتقال دهد یعنی . نگاشت عملگر ریشه- یابی سیستم دینامیکی نامیده می شود. در سیستم های زمان پیوسته خانواده  از عملگر ها، شار نامیده می شود.

توجه کنید که ممکن است نگاشت   برای هر جفت  تعریف نشده باشد. عملگرهای ریشه یابی دو خصوصیت کلی دارند که باعث می شوند رفتار(حالت) آینده سیستم دینامیکی مشخص شود.

(a)  که  در اینجا نگاشت همانی روی  است یعنی برای هر ، . این خاصیت می گوید رفتار سیستم خودبه خود تغییر نمی کند.

(b) دومین خاصیت عملگر ریشه یابی این است که  به ازای هر  و  به طوری که هر دو طرف نامساوی بالا تعریف شده باشد.

این خاصیت می گوید: حالت نتیجه شده از ریشه یابی سیستم در  واحد زمانی با شروع از نقطه  مانند این است که سیستم از حالت اولیه در  واحد زمانی تغییر یابد وسپس در  واحد زمانی از حالت کامل شود.

در بسیاری از سیستم ها حالت فعلی سیستم ، نه تنها رفتار آینده سیستم بلکه رفتار گذشته آن را نیز مشخص می کند. به عبارت دیگر عملگر ریشه یابی  برای  نیز تعریف شده و خاصیت دوم سیستم های دینامیکی زمانی که  هر دو منفی باشند نیز برقرار است. چنین سیستم هایی معکوس پذیر نامیده می شوند و عملگر  معکوس عملگر  است( ). بنابراین .

   یک سیستم دینامیکی زمان گسسته توسط تنها یک نگاشت  که نگاشت تک زمان نامیده

 می شود، مشخص می شود. به وضوح ، که تکرار دوم نگاشت  است. به همین ترتیب داریم :  برای هر .

اگر سیستم زمان گسسته معکوس پذیر باشد روابط بالا برای  نیز برقرار است و . البته هنگام به کار بردن تکرارها باید چک کنیم که تکرارها متعلق به دامنه تعریف تابع  باشند.

در بسیاری از سیستم ها  تابع پیوسته ای از  است که اگر  باشد نسبت به زمان نیز پیوسته است.

بسیاری از سیستم های تعریف شده روی  یا روی منیفلدهای هموار در  به گونه ای است که  به عنوان یک تابع از  هموار است، چنین سیستم هایی، سیستم های دینامیکی هموار نامیده می شوند.

حال ما قادریم یک تعریف رسمی از سیستم دینامیکی ارائه دهیم. در زیر به تعریف یک سیستم دینامیکی به زبان ریاضی می پردازیم.

دوتایی،که در آن  مجموعه ای غیرتهی و نگاشتی به صورتاست را یک سیستم دینامیکی می نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:

1)به ازای  داشته باشیم:(همان تابع همانی روی Xاست).

2)برای هر داشته باشیم:(oنشان دهنده ترکیب توابع می باشد).

اگر سیستم دینامیکی با تعریف بالا داشته باشیم و، آن را سیستم دینامیکی زمان پیوسته و اگر، آنگاه سیستم دینامیکی زمان گسسته خواهیم داشت. همچنین اگر باشد آن را سیستم دینامیکی گوییم.

در سیستم دینامیکی زمان گسسته، نمادوبه ترتیب بار ترکیب توابعواست که         می باشد(البتهبایدمعکوس پذیر باشد).

اربیت ها (مدارها) و پیکره های فاز:

پایه اشکال هندسی متناظر با یک سیستم دینامیکی ، اربیت های آن و پیکره فاز تشکیل شده از اربیت ها می باشد. یک اربیت زیرمجموعه ای مرتب از فضای حالتاست و مدار(برای هردلخواه عضو)را بانشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

اگر سیستم دینامیکی زمان گسسته ای داشته باشیم که نگاشت  در آن معکوس پذیرباشد به صورت می باشد و اگر معکوس پذیر نباشد خواهیم داشت:

مدار های یک سیستم دینامیکی زمان پیوسته  منحنی هایی در فضای حالت  می باشند که جهت این منحنی ها در جهت افزایش زمان است.

مدار های یک سیستم  دینامیکی زمان گسسته دنباله ای از نقاط در فضای حالتاست که این نقاط توسط اعدادصحیح افزایشی شماره گذاری می شوند.مدار ها اغلب مسیر نامیده می شوند. ساده ترین مدار یک نقطه تعادل است.

*نقطه  را یک نقطه تعادل(ثابت) سیستم می نامیم هر گاه برای هر ،.

بادر نظر گرفتن سیستم بالا، نقطه رانقطه ای تناوبی برای سیستم فوق گوییم، اگرموجود باشد به طوری که:.  همچنین کوچکترین با این خصوصیت، دوره تناوب نقطهمی- نامیم.

اگر نقطه ای تناوبی برای سیستم باشد، آنگاه مدار  به صورت زیر می باشد:

   همچنین نگاشت ، راشبه متناوب گوییم اگر اعداد موجود باشند به قسمی که بتوان آن را به صورت زیر نوشت:

که در آن  نگاشتی با دوره تناوب  در نقاط  می باشد. اعدادبسامد های پایه نامیده می شود.

 نقطه ثابترا نقطه ای تکین می نامیم اگر همسایگی از مانند  موجود باشد به طوری که غیر از خودشامل هیچ نقطه ثابت دیگری نباشد.

یک مجموعه پایا از یک سیستم دینامیکی ، یک زیرمجموعه  است به طوری که اگرآنگاه برای هر،. یعنی داشته باشیم: برای هر،. به وضوح هر مجموعه پایای شامل نیم اربیت های مثبت است. به وضوح هر اربیت تکین  یک مجموعه پایاست.

* در یک سیستم دینامیکی زمان گسسته اگر ، یک نقطه ثابت باشد(یعنی) و ، ماتریس ژاکوبین   در نقطه باشد یعنی ، آنگاه گوییم  پایدار است اگر همه مقادیر ویژه های از ماتریس  در شرط  صدق کنند.

* در یک سیستم دینامیکی زمان پیوسته اگر ، یک نقطه ثابت باشد(یعنی) و ماتریس ژاکوبین در نقطه باشد یعنی ، آنگاه گوییم  پایدار است اگر همه مقادیر ویژه های  از ماتریس در شرط  صدق کنند.

2- مجموعه های حدی و جاذب ها

هر سیستم دینامیکی متناظر با یک معادله دیفرانسیل می باشد.

دستگاه زیر را در نظر می گیریم: (، یک فضای توپولوژیک می باشد).

(1)                                   و