فهرست مطالب
چکیده ب
مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………….ز
.
معادلات تعادل در محیط‏های ایزوتروپ جانبی 1
1-1-مقدمه 2
1-2-بیان مسأله و معادلات حاکم 5
1-3-توابع پتانسیل 9
1-4-شرایط مرزی 13
.
توابع گرین در حالت کلی……………………………………………………………………………………………………………………….25
2-1-مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………26
2-2-حالت … 27
2-3-تبدیل دستگاه مختصات قطبی به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها 30
..
ماتریس سختی شالوده صلب مستطیلی با بهره گرفتن از توابع گرین……………………………………………………………………..33
3-1-مقدمه 34
3-2- بیان مسأله ومعادلات حاکم در حالت شالوده صلب مستطیلی……………………………………………………………….34
3-2-1-توابع شکل مورد استفاده 38
3-2-1-1-توابع شکل المان های لبه ای 8 گره ای 39
3-2-1-2-توابع شکل المان های میانی 8 گره ای 41
3-2-1-3-توابع شکل المان های گوشه 8 گره ای 41
3-2-1-4-فلوچارت برنامه نویسی برای تحلیل مسأله 44

نتایج عددی 47

نتیجه‏گیری و پیشنهادات 77
5-1-مقدمه و نتیجه گیری 78
5-2-پیشنهادات 79
فهرست مراجع 80
 
فهرست شكل‌ها
شکل 1- 1- شكل شماتیک ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها 4
شکل 1- 2- شكل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها 4
شکل 1- 3- شكل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و توابع امپدانس معادل خاك 5
شکل 1- 4- نیم فضای لایه‏ای متشكل از لایه‏ها با رفتار ایزوتروپ جانبی 6
شکل 1- 5 – نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای‏ تحت اثر نیروی دلخواه در سطح … …..13
شکل 1- 6-خواص هندسی لایه ام 17
شکل 2- 1- نیم فضای همگن با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت نیروی متمرکز دلخواه استاتیکی 27
شکل 2- 2-تبدیل مختصات از دستگاه استوانه ای‏ به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها 30
شکل 3- 1– صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد 36
شکل 3- 2- صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد 36
شکل 3- 3- صفحه صلب تحت خمش 37
شکل 3- 4 -نحوه المان بندی تنش‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏در زیر پی صلب 38
شکل 3-5- توابع شکل المان‏های‏ لبه 8 گرهی 40
شکل 3-6- توابع شکل المان‏های‏ میانی 8 گرهی . 42
شکل 3- 7- توابع شکل المان‏های‏ گوشه 8 گرهی 43
شکل 3- 8 -تابع .. 44
شکل 4- 1- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول و عرض 53
شکل 4- 2- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 54
شکل 4- 3- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول و عرض 55
شکل 4- 4- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     56
شکل 4- 5 – تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض    …..57
شکل 4- 6- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     58
شکل 4- 7- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض    59
شکل 4- 8- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     60
شکل 4- 9- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض    61
شکل 4- 10- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     62
شکل 4- 11- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض    63
شکل 4- 12 – تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     64
شکل 4-13- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض    65
شکل 4-14- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع   66
شکل 4- 15 – تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض . 67
شکل 4- 16 – تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع     68
شکل 4- 17- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 69
شکل 4- 18- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 70
شکل 4- 19- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 71
شکل 4- 20- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 72
شکل 4- 21- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 73
شکل 4- 22- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 74
شکل 4- 23- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 75
شکل 4- 24- تنش سه بعدی در سطح نسبت به ناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 76
 
فهرست جدول‌ها
جدول 4- 1- ضرایب ارتجاعی مصالح انتخاب شده 49
جدول 4- 2- نحوه قرارگیری مصالح مختلف برای تعیین جواب عددی 50
جدول 4- 3- سختی یک صفحه مربعی به طول و عرض در محیط های متفاوت 52

مقدمه

در این پایان ‌نامه ابتدا پاسخ محیط نیم‏‏‏‏‏ بینهایت لایه ای‏ با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت اثر نیروی متمرکز سطحی دلخواه در حالت استاتیکی در محدوده‏‏‏‏ی‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ خطی- ارتجاعی به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. سپس ماتریس سختی پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط مذکور در حالت استاتیکی تعیین می‌شود. برای‏ حل، ابتدا معادلات تعادل در فصل اول در دستگاه مختصات استوانه‌ای‏ برای‏ هر‏‏‏‏یک از لایه‏ها نوشته شده و سپس با بهره گرفتن از روابط تنش-كرنش و كرنش- تغییرمكان، معادلات برحسب تغییرمكان‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نوشته می‌شوند. این معادلات به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. به منظور مجزاسازی آن‏ها، از دو تابع پتانسیل اسكالر در هر لایه استفاده ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شود. معادلات حاکم بر توابع پتانسیل، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی از مرتبه 4 و 2 ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. برای‏ حل معادلات حاکم بر توابع پتانسیل در هر لایه با توجه به شرط منظم بودن از تبدیل انتگرالی هنكل نسبت به مختصه شعاعی و تبدیل فوریه بر حسب مختصه آزیموتی استفاده كرده و جواب در حالت كلی برای‏ كلیه لایه‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ تعمیم داده می‏شود.
در ادامه، شرایط مرزی در سطح آزاد نیم‏‏‏‏‏ فضا و شرایط پیوستگی بین لایه‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ نوشته شده و با بهره گرفتن از شرایط پیوستگی، معادلات ارتباطی بین ضرایب مجهول توابع پتانسیل لایه‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏که خود ناشی از انتگرال گیری می باشند، بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. با برقراری رابطه بازگشتی بین ضرایب لایه‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏، کلیه ضرایب به جز ضرایب نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ تحتانی حذف شده و ضرایب نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ تحتانی به کمک شرایط مرزی در سطح آزاد تعیین ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شوند و از آن بقیه ثابت‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ با بهره گرفتن از ارتباط بین لایه‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ (شرایط پیوستگی) بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. سپس، با بهره گرفتن از روابط تنش- تابع پتانسیل و تغییر مكان- تابع پتانسیل، تنش‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و تغییرمکان‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در فضای‏ هنكل به دست آمده و با كمك تبدیل معكوس هنكل و سری فوریه، تنش‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ و تغییر مكان‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در فضای‏ واقعی به دست می‏آیند.
در فصل دوم با تغییر دستگاه مختصات از استوانه‌ای‏ به دکارتی، توابع گرین تغییر‌مکان و تنش در دستگاه مختصات دکارتی به‌دست آمده و با انتقال دستگاه مختصات از مبداء به‏‏‏‏ یک نقطه سطحی دلخواه، توابع تغییرمکان و تنش برای‏ بارگذاری خارج از مبداء مختصات بدست می‌آیند. بدین ترتیب توابع گرین برای‏ بار دلخواه تعیین می‌شوند. با بهره گرفتن از توابع گرین تغییرمکان و تنش، این توابع برای‏ نیروی موثر بر‏‏‏‏ یک سطح مربع مستطیل تعیین می‌شوند.
در فصل سوم با نوشتن معادلات به فرمت اجزاء محدود و استفاده از المانی جدید به نام المان گرادیانی پویا، تنش تماسی قائم و افقی در هر گره مربوط به شالوده چنان تعیین می‌شوند که شرط تغییرمکان صلب و‏‏‏‏ یا دوران صلب در هر نقطه از صفحه را ارضاء نماید. دستگاه معادلات حاکم بر تنش تماسی قائم و افقی به صورت عددی حل می‌شود. با بهره گرفتن از تنش‏های‏ تماسی نیروهای‏ کل تماسی و گشتاور خمشی کل در محل تماس شالوده و نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ لایه ای‏ به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و دوران صلب به نیروهای‏ افقی، قائم و گشتاور خمشی را ماتریس سختی نیم‏‏‏‏‏ فضا برای‏ شالوده ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نامیم. این ماتریس با برقراری ارتباط اخیرالذکر بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. ماتریس سختی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند جایگزین خاك زیر شالوده شده و به افزایش دقت در آنالیز سازه‏های‏ سنگین مستقر بر محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای‏  کمک کند.

فصل اول

معادلات تعادل
در محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای

1-1- مقدمه

تحلیل استاتیکی و دینامیکی سازه‏های‏ سنگین مستقر بر زمین (شکل 1-1) نیاز به فهم چگونگی انتقال نیرو از سازه به خاک و جنبه‏های‏ مختلف آن را دارد، چه در غیر این صورت نتایج تحلیل سازه ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند با دقت کم همراه باشد. در این موارد، همواره برای‏ داشتن طرح مطمئن نیاز به ساده سازی‌های‏ محافظه کارانه و در نتیجه غیراقتصادی می‌باشد. یکی از راه‌های‏ در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه، المان‌بندی محیط زمین زیر ساختمان به روش اجزاء ‌محدود (شکل 1-2) می‌باشد. تحلیل سازه به همراه محیط زیرین مطابق این روش اولاً بسیار پرهزینه بوده و ثانیاً به علت عدم توانایی المان‌بندی زمین تا بی‌نهایت ممکن است از دقت مناسب برخوردار نباشد. بسیاری از مصالح در طبیعت و نیز ساخته‏های‏ مصنوعی رفتار ایزوتروپ جانبی دارند. از آنجمله می توان به رفتار اعضای‏ مستقیماً برگرفته از تنه درختان، محیط خاكی زیر ساختمانها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و صفحات چند لایه نام برد .اهمیت بررسی پاسخ این مصالح از دیر باز مورد توجه بوده بطوری كه میشل در سال 1900 میلادی به بررسی یک نیم فضای ایزوتروپ جانبی تحت نیروهای سطحی دلخواه پرداخته است [19] . لخنیتسكی در سال 1940 محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت متقارن محوری و بدون پیچش در نظر گرفته و معادلات درگیر حاكم بر مسئله را با معرفی یک تابع پتانسیل به صورت مجزا و قابل حل درآورده است [17] . نواكی تابع پتانسیل لخنیتسكی را مجدداًٌ به دست آورده و ادعا كرده است كه این جواب محدود به مسائل متقارن نیست [20] . هو محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت كلی مورد توجه قرار داده و تابع پتانسیل لخنیسكی را برای‏ حالت کلی تکمیل کرده است [15]. این تابع هم اكنون در ادبیات مكانیک محیط پیوسته با رفتار ایزوتروپ جانبی به نام تابع لخنیسکی- هو- نواكی مشهور است. بررسی محیط با رفتار ایزوتروپ جانبی به وسیله دیگران همچون ونگ و ونگ [29] ، ایوبنکس و استرنبرگ [14] ، الیوت [7] و پن وچو [24] نیز در حالت استاتیکی بررسی شده است. این محیط در حالت دینامیکی توسط اسکندری قادی [8] ، رحیمیان و همکاران [25] و دیگران مورد توجه قرار گرفته است.
در واقعیت خواص محیط زیر شالوده بر حسب عمق ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند تغییر کند. در نتیجه به منظور واقعی‌تر کردن تحلیل فوق‌الذکر، در این پایان نامه محیط ایزوتروپ جانبی به عنوان محیط مبنا در نظر گرفته شده و اجتماع لایه ای‏ محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی با خواص متفاوت تحت اثر تغییر مکان صلب صفحه مستطیلی مورد تحلیل قرار ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏گیرد. با این بررسی تنش‏های‏ تماسی بین شالوده مستطیلی و نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ لایه ای‏ ناشی از تغییر مکان‏‏‏‏ یا دوران صلب شالوده به دست آیند. تنش تماسی در لبه‏های‏ شالوده صلب رفتاری تکین از خود نشان ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏دهد و درک این مفهوم به طراحی سازه‏های‏ سنگین و آنالیز نشیمن آن بسیار کمک ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏کند. به علاوه، با تعیین نیروهای‏ تماسی کل بین شالوده و نیم‏‏‏‏‏ فضا بردار مجموع نیروها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و گشتاورهای‏ تماسی بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. مجموعه تغییر مکان‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و دوران صلب شالوده نیز‏‏‏‏ یک بردار با همان بُعد بردار نیروها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ تشکیل ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏دهد. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان به بردار نیروها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ را ماتریس سختی و معکوس این ماتریس،‏‏‏‏ یعنی ماتریس تبدیل بردار نیروها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏به بردار تغییر مکان را ماتریس نر‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نامند. درایه‏های‏ ماتریس سختی پارامترهای‏ متمرکز جایگزین محیط لایه ای‏ ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. این پارامترها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ که همان سختی فنرهای‏ معرف محیط لایه ای‏ ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند (شکل 1- 3)، اثر محیط لایه ای‏ روی شالوده و در نتیجه سازه روی شالوده را مدلسازی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏کنند. این پارامترها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در متون مرتبط فنر وینکلر نیز نام دارند.
شکل 1- 1- شكل شماتیک ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها
 
شکل 1- 2- شكل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها
 
شکل 1- 3- شكل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و سختی معادل خاك
 
 
 
 
1-2- بیان مساله و معادلات حاکم
یک محیط نیمه متناهی ارتجاعی شامل لایه موازی با خصوصیات مصالح مختلف كه همگی دارای‏ رفتار ایزوتروپ جانبی می‌باشند در دستگاه مختصات استوانه‌ای چنان در نظر گرفته می‌شود که محور عمود بر صفحه ایزوتروپی تما‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏لایه‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏بوده و جهت مثبت محور به سمت داخل نیم فضا ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشد (شكل 1-4).
شکل 1- 4- نیم فضای لایه‏ای متشكل از لایه‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ با رفتار ایزوتروپ جانبی
در این‌صورت معادلات تعادل بر حسب تنش‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏برای یک لایه عمو‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏در غیاب نیروهای‏ حجمی ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏به صورت زیر نوشته می‌شوند[1] [17] :
(1-1)
که در آن با مؤلفه های‏ تانسور تنش[2] ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند.
رابطه کرنش- تنش در مصالح ایزوتروپ جانبی برای‏ یک لایه عمو‏می بصورت زیر است [17] :
(1-2)
که در آن داریم:
(1-3)
اگر معرف مدول یانگ در صفحه ایزوتروپی، مدول یانگ عمود بر صفحه ایزوتروپی، ضریب پواسون در صفحه ایزوتروپی (جمع شدگی در امتداد دلخواه در صفحه ایزوتروپی به علت کشش عمود بر امتداد قبلی در همین صفحه)، ضریب پواسون عمود بر صفحه ایزوتروپی (جمع شدگی عمود بر صفحه ایزوتروپی به علت کشش در این صفحه)، مدول برشی در صفحه ایزوتروپی و مدول برشی در صفحات عمود بر صفحه ایزوتروپی باشد، خواهیم داشت:
(1-4)
با بهره گرفتن از رابطه (1-2)، رابطه تنش- کرنش به صورت زیر درمی‌آید:
(1-5)
ضرایب با بر حسب به صورت زیر هستند:
(1-6)
که در آن: