3-3-فرمول بندی مسئله     15
3-3-1-معادله حاکمه     17
3-3-2-تعیین جوابهای هارمونیک     20
3-4-فرمول بندی روش المان محدود     21
3-5-روش المان نامحدود     30
3-5-1-روش اول، قسمت بندی محیط مسئله     33
3-5-2-روش دوم، المان بینهایت با سه نوع موج     37
3-6-تعیین ضریب استهلاک دامنه موج،      43
3-7-عمق موثر موج ریلی     50
3-8-انتگرال عددی المان نامحدود     52
3-9-میرایی مصالح     55
فصل چهارم: تحلیل و بررسی نتایج
4-1-تعیین سیستم اندرکنش خاک و سازه و خواص دینامیکی آن     58
4-1-1-تعیین سیستم پی    59
4-1-2-روش هایی برای تعیین امپدانس پی    60
4-1-3- خلاصه بر تاریخچه توابع امپدانس    61
4-2-مدل سازی با روش المان محدود    65
4-3-توابع نرمی در حالت دوبعدی برای نیم فضای الاستیک    68
4-3-1-مقدمه    68
4-3-2-تعریف توابع نرمی    68
4-4-مدل سازی با ترکیب روش های المان محدود و المان نامحدود.    73
4-4-1-مقدمه    73
4-4-2-کنترل صحت ترکیب روش های المان محدود و المان نامحدود    73
4-4-3-مثال پی ویسکوالاستیک تحت بارگذاری هارمونیک یکنواخت    74
4-5-نحوه بدست آوردن توابع نرمی دینامیکی برای پی نواری ویسکوالاستیک    81
4-5-1-تعیین ضرایب تأثیر نرمی دینامیکی    81
4-5-2-تعیین ماتریس سختی دینامیکی    84
4-5-3-تعیین ماتریس نرمی دینامیکی    88
4-6-توابع نرمی با بهره گرفتن از ترکیب روش های المان محدود و المان نامحدود    92
4-6-1-توابع نرمی دینامیکی     94
4-7-اثر عمق سنگ بستر    95
4-8-تکنیک انتگرال گیری عددی نیوتن-کوتس    98
فصل پنجم: نتیجه گیری و پیشنهادات
نتیجه گیری و پیشنهادات    102
فصل ششم: منابع  و مراجع
منابع و مراجع    105
فهرست شکلها
عنوان                                                                                                                                    صفحه
شکل 1-1-اندرکنش سینماتیکی و اینرسی برای سازه با پی صلب    4
شکل 3-1-نیم فضا تحت اثر بار هارمونیک    16
شکل 3-2-لمان سرندپیتی هشت گرهی صفحهای در دستگاه مختصات کارتزین     21
شکل 3-3-المان هشت گرهی در مختصات کلی و مختصات محلی    22
شکل 3-4-محل قرار گیری نقاط نمونه گیری برای تابع دو بعدی در حالات مرتبه دو و مرتبه سه    30
شکل 3-5-انتشار امواج در نواحی مختلف حیطه مسئله    31
شکل 3-6-المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی    33
شکل 3-7-نمایش طول المان نامحدود در جهت محور     35
شکل 3-8-المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی    38
شکل 3-9-استهلاک دامنه امواج هارمونیک در محیط بینهایت    45
شکل 3-10-هندسهای برای تعیین ضریب استهلاک دامنه    48
شکل 3-11-هندسهای برای تعیین ضریب استهلاک دامنه    51
شکل 4-1-مدل محاسباتی جهت بررسی صحت برنامه نوشته شده المان محدود    67
شکل 4-2-نمایش شماتیک اندرکنش خاک-پی-سازه بصورت شماتیک، فقط برای تحریک قائم    69
شکل 4-3-پی نواری صلب بدون جرم روی نیم فضا و نیروها و لنگر مؤثر بر آن در حالت دو بعدی    70
شکل 4-4-شبکه بندی پی ویسکوالاستیک نیمه بینهایت    74
شکل 4-5-قسمت حقیقی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     77
شکل 4-6-قسمت حقیقی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     77
شکل 4-7-قسمت حقیقی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     78
شکل 4-8-قسمت موهومی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     78
شکل 4-9-قسمت حقیقی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     79
شکل 4-10-قسمت موهومی نرمی بیبعد، بارگذاری در جهت ، جابجایی در جهت     79
شکل 4-11-توصیف ضرایب تأثیر نرمی دینامیکی     81
شکل 4-12-شکل توصیف بارگذاری    82
شکل 4-13-ضرایب تأثیر نرمی دینامیکی برای تنش اعمالی قائم    83
شکل 4-14-نقاط گرهی و المانهای واقع در مرز مشترک خاک-سازه    85
شکل 4-15-توابع نرمی دینامیکی برای لایه خاک واقع بر بستر سنگی    94
شکل 4-16-اثر عمق سنگ بستر بر قسمت حقیقی نرمی دینامیکی    96
شکل 4-17-اثر عمق سنگ بستر بر قسمت موهومی نرمی دینامیکی    96
شکل 4-18- اثر عمق سنگ بستر بر دامنه جابجایی وسط پی    97
فهرست جداول
عنوان                                                                                                                                    صفحه
جدول 3-1-محل نقاط نمونه گیری و ضرایب وزنی برای گائوس کوآدرچر در بازه  تا     29
1- مقدمه
⦁    مقدمهای بر اندرکنش خاک-سازه
اندرکنش خاک-سازه یکی از موضوعات چالش بر انگیز در مهندسی عمران است. درهر سازه متصل به زمین، اندرکنش بین خاک زیر پی و سازه میتواند اثرات قابل ملاحظهای هم روی سازه و هم روی پـــی و خاک قرار گرفته در زیر آن بگذارد. موضوع اندرکنش خاک-سازه برای سازه های حجیم که برروی خاکهای سست قرار گرفته بودند مورد توجه قرار گرفت. به عنوان مثال سازه هایی مثل نیروگاه های هستهای، سدهای بتنی، از جمله این موارد هستند. همچنین سازه هایی مثل پلها، تونلها و سازه های زیر زمینی نیز از نقطه نظر اندرکنش خاک و سازه مورد بررسی قرار میگیرند.

اندرکنش دینامیکی خاک-سازه از مسائل مهم مهندسی زلزله بحساب میآید. پیچیدگی مسئله به علت طبیعت پیچیده و وجود دو حیطه محدود و نامحدود با ویژگیهای مکانیکی مختلف است. برای بررسی مسئله اندرکنش خاک-سازه میتوان از روش های عددی استفاده کرد. محققین برای مدل کردن حیطه نزدیک معمولاُ از روش عددی اجزای محدود استفاده میکنند. ولی مشکل اصلی، در مدل کردن حیطه نامحدود است. در صورتی که بخواهیم از روش اجزای محدود برای مدل سازی حیطه نامحدود استفاده کنیم حیطه دور باید به قدری بزرگ انتخاب شود که انعکاس موج رخ ندهد، این مطلب زمانی که با سازه های حجیم یا با مسائل سه بعدی مواجه هستیم، بیشتر اهمیّت پیدا میکند.
به همین دلیل محققین برای مدل کردن حیطه نامحدود، روی به استفاده از روش های عددی مختلفی که قادر به لحاظ کردن شرائط بینهایت و در نظرگرفتن میرایی تابشی باشد، آوردهاند. به عنوان مثال، این روش های عددی عبارتند از: روش اجزای مرزی، روش اجزای بینهایت و روش اجزای مرزی محدود مقیاس شده. هر کدام از روش های عددی مزایا و معایب خود را دارند، در واقع هیچ روشی بی نقص نیست.
برای بررسی لرزهای سازهای بنا شده روی محیط خاک نسبت به حالتی که سازه روی سنگ باشد، دو نکته مهم مورد توجه قرار میگیرد. اول، حرکات ساختگاه در غیاب سازه به شدت متاثر میشود. دوم، وجود سازه روی خاک در مقایسه با سنگ یا محیط صلب، باعث تغییر مشخصات دینامیکی سازه میشود. اندرکنش سازه با خاک اطراف آن باعث تغییراتی در تغییر مکانها، فرکانسهای طبیعی پی میشود.
روش هایی که دو اثر ذکر شده را در بر بگیرد، آنالیز آزاد و آنالیز اندرکنش خاک-سازه گویند. اندرکنش خاک-سازه همچنین برای حالتهای دیگر بارگذاری مثل: ارتعاشات ماشین به علت دوران جرم خارج از محور، ارتعاش زمین به علت بار ترافیک و غیره نیز بررسی میشود.
پاسخهای دینامیکی سازه های حجیم، مثل نیروگاه های هستهای، ساختمانهای با ارتفاع زیاد، سد و مخازن ذخیره مایعات به علت اثر اندرکنش خاک-سازه دچار تغییر میشوند. برای سازه های سخت و حجیم که روی بستر نرم قرار گرفتهاند، اثر اندرکنش خاک-سازه قابل توجه میشود. این پدیده ممکن است پاسخهای دینامیکی سازه را به طور فاحشی دچار تغییر کند. بنابراین اثرات اندرکنش برای طراحی و آنالیز سازه های واقع بر محیط نیمه بینهایت خاک باید مد نظر قرار گیرد.
اندرکنش خاک-سازه پدیده پیچیدهای از ترکیب سازه و محیط خاک اطراف آن است. از نقطه نظر مهندسی به منظور بررسی این که چگونه اندرکنش خاک-سازه پاسخهای دینامیکی سازه را تحت تاثیر قرار میدهد، معمول است که اندرکنش دینامیکی خاک-سازه را به دو بخش تقسیم میکنند: اندرکنش سینماتیکی و اندرکنش اینرسی.
در اندرکنش سینماتیکی اثرات کوپل بین سازه بیوزن(بدون جرم) و خاک اطراف آن در نظر گرفته میشود. در این سیستم نکته مهم انکسار امواج برخورد کننده با سازه است. بنابراین اثر اندرکنش سینماتیکی بیشتر بوسیله انواع مختلف امواج برخورد کننده، هندسه قسمتهای مدفون سازه و تفاوت بین سختی سازه و خاک اطراف آن متاثر میشود. بطور کلی در اندرکنش سینماتیکی تأثیر سختی سازه بر جوابها مد نظر است و همانطور که گفته شد از جرم سازه صرف نظر میشود.
در نوع دیگر، اندرکنش اینرسی، تأثیر نیروهای اینرسی ناشی از سازه بر جوابها اهمیّت دارد. که نیروی اینرسی نتیجه اثر شتاب بر جرم سازه است و برعکس حالت قبل در این حالت از جرم سازه صرف نظر نمیشود. در واقع امواج ناشی از نیروهای اینرسی سازه به پی منتقل شده و در توده بینهایت خاک انتشار مییابد.
توصیف فیزیکی اندرکنش اینرسی و سینماتیکی در شکلهای 1-1 نشان داده شده است.
شکل 1-1 اندرکنش سینماتیکی و اینرسی برای سازه با پی صلب (Kim, 1999)
⦁    روش های مستقیم و زیرسازه
با توجه به روش مدل کردن ناحیه خاک، روش های آنالیز اندرکنش خاک-سازه به دو گروه تقسیم میشوند: روش مستقیم و روش زیرسازه.
در روش مستقیم، ناحیه خاک مجاور سازه مثل سازه به طور مستقیم با روش المان محدود مدل میشود. از این رو در روش مستقیم میتوان هندسه پیچیده، تغییرات خواص خاک و رفتار غیر خطی محیط خاک را مدلسازی کرد.
در روش زیرسازه،  محاسبات برای دو سیستم انجام میشود، سازه واقع بر خاک و حیطه پی. این دو سیستم کاملاً از یکدیگر مستقل هستند. ارتباط بین این دو سیستم از طریق نیروی اندرکنش مرز مشترک خاک-سازه حاصل میشود.
تمام ناحیه خاک-سازه بوسیله ماتریس امپدانس معرفی میشود. بنابراین آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک-سازه بسیار ساده میشود و سختی محاسبات به حداقل میرسد. این روش محدودیتهایی همچون ساده بودن هندسه پی و خطی بودن رفتار خاک را دارد.
2- بر تحقیقات انجام شده
2-1 مقدمهای بر روش المان نامحدود
در خیلی از مسائل، ابعاد جسم یا محیط در مقایسه با محیط اطرافشان بسیار کوچکتر است. در اکثر این مسائل، روش اجزای محدود میتواند حیطه کوچکی از مسئله را بررسی کند. در مسائل استاتیکی، معمولا یک برش ساده از محیط مسئله با اعمال مرز صلب حول قسمت برش خورده، کفایت میکند. هرچند محل دقیق مرز صلب مشخص نیست و همین امر ممکن است منجر به انتخاب المانهای محدود بیشتری شود که باعث افزایش شدید حجم و زمان محاسبات میشود.
در مسائل دینامیکی، به دلیل وجود ارتعاشات در مسئله، مرز صلب باعث انعکاس موج میشود. این موضوع ارتباطی با اندازه شبکه بندی روش اجزای محدود و اندازه حوزه داخل مرز صلب ندارد. بخصوص برای مسئله اندرکنش خاک-سازه با محیط بینهایت خاک تحت بارهای دینامیکی، انتخاب شرایط مرزی مناسب اهمیّت پیدا میکند. در نظرگرفتن میرائی تابشی(شعاعی) به علت مستهلک سازی امواج ناشی از ارتعاش سازه به پی و محیط دور، امری ضروری است.
به این منظور تکنیکهای مختلفی جهت حل این مشکل و مدل سازی شرایط مرزی مناسب بوجود آمدهاند که میتوان مرز لزج، مرز انتقال دهنده، روش المانهای مرزی، روش المان محدود مرزی مقیاس شده، روش المان بینهایت و روش های ترکیبی را نام برد.
روش المان بینهایت از لحاظ فرمول بندی و مفهومی همانند روش المان محدود است. تنها تفاوت این دو روش در المانها و توابع شکل به کار گرفته شده است. فرمول بندی توابع شکل در روش المان بینهایت معمولا بنا به آنالیز بهتر رفتار محیط بینهایت انتخاب میشود.  بنابراین انواع مختلفی از المانهای بینهایت برای مسائل مختلف مهندسی که به نوعی با محیط بینهایت سر و کار دارند، ایجاد شدهاند.
این مسائل عبارتند از: آنالیز تحکیم، آنالیز تراوش، انتقال جرم، انتقال حرارت، اندرکنش سیال-سازه و اندرکنش خاک-سازه.
برای آنالیز مسئله اندرکنش خاک-سازه، روش المان بینهایت باید قادر به نشان دادن انتشار انرژی در جهت شعاعی به علت انتشار مولفه های مختلف موج به حیطه دور باشد. در واقع این روش باید شرایط بینهایت را به کمک ریاضیات مدل سازی کند.
در حالت کلی در وضعیت سه بعدی(نیم فضا) یا در حالت دو بعدی(نیم صفحه) ، شامل لایه (لایه های) افقی و لایه زیرین است که از سمت پایین به بینهایت میرود. به عنوان مثال در حالتی که لایه خاک روی سنگ بستر باشد، لایه زیرینی وجود ندارد که به سمت بینهایت برود. در واقع مثل مسئلهای است که درجات آزادی مربوط به قسمت پایینی در حالت دو بعدی در دو جهت بسته شده باشند.
2-2 بر مطالعات پیشین